Florilège d’énigmes

I. Concours de Miss Grenouille

Le concours de Miss Grenouille est noté de 0 à 20 par un jury de crapauds. Les notes obtenues par les 21 candidates sont

Pour la renommée du concours, le président du jury décide d’augmenter la moyenne de 1 point. Par souci de discrétion, il doit changer le moins de notes possible et ne doit modifier ni la médiane, ni l’étendue. Conseiller le président du jury pour le choix de ces nouvelles notes.

II. Un bon gâteau au chocolat

Un pâtissier assemble 8 tiges afin de construire un moule pyramidal à base rectangulaire pour ses nouveaux chocolats. Il dispose de deux tiges de 2,4 cm, de deux de 6 cm, d’une de 3,2 cm, d’une de 4 cm, d’une de 6,8 cm et d’une dernière plus longue.

Il recouvre cet assemblage d’un revêtement plastique et y verse son délicieux chocolat. Il se rend compte que pour remplir son moule il a besoin d’exactement 15,36 mL de chocolat. Quelle est la longueur exacte de la dernière tige ?

III. Le poids d’un nombre entier

Si le « poids » d’un nombre entier est égal à la somme de ses chiffres, quel est le plus petit nombre entier qui « pèse » 2008 ?

IV. « Carrément carré »

Un naturel est dit « carrément carré » s’il est le carré d’un naturel et si la somme de ses chiffres est également le carré d’un entier (81 est « carrément carré » car 81 = 92 et 8 + 1 = 32).

Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’un naturel inférieur à 2010 soit « carrément carré » ?

Solutions : corrections collégiales de plusieurs lecteurs

Énigme I : concours de Miss Grenouille

La moyenne est égale à 10, il y a 21 candidates.

Pour obtenir une moyenne égale à 11, le jury doit attribuer 21 points supplémentaires.

Essayons de modifier seulement deux notes : on voit très vite que l’on doit attribuer au moins 11 points à une note inférieure ou égale à la médiane, et la médiane se trouve donc changée.

On ne peut donc pas ajouter 21 points en changeant uniquement deux notes.

Énigme II : un bon gâteau au chocolat

La réalisation de la base rectangulaire du moule pyramidal ABCDS nécessite les 2 tiges de 6 cm et les 2 tiges de 2,4cm.

Cela donne une base ABCD de 14,4cm².

Comme son volume est de 15,36 cm³, sa hauteur est égale à 3x15,36/14,4, c’est-à-dire 3,2 cm, ce qui est exactement la longueur de l’arête [SA]. Cela signifie que l’arête [SA] correspond à la hauteur de la pyramide donc celle-ci est perpendiculaire à la base.

Il reste 3tiges à placer : l’arête [SB] mesure forcément 6,8cm et l’arête [SD], 4cm.

Énigme III : le poids d’un nombre entier

Le plus petit nombre entier qui « pèse » 2008 doit posséder un minimum de chiffres donc un maximum de 9.

Comme 2008=9x223+1, le nombre cherché possède 224 chiffres et écrit :

Énigme IV : « carrément carré »

Parmi la liste des carrés parfaits inférieurs à 2010, on sélectionne les « carrément carrés ».

Voici la liste :

0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 36 ; 81 ; 100 ;

121 ; 144 ; 169 ; 196 ; 225 ;

324 ; 400 ; 441 ; 484 ; 529 ;

900 ; 961 ; 1 521 et 1681