Les yeux pleins d’étoiles!

Le mois de décembre est le mois des fêtes de fin d’année. Les journées sont très courtes, mais les nuits s’illuminent des décorations scintillantes des centres-villes ou des maisons des particuliers.

Temps de lecture: 5 min

Les Plaisirs d’Hiver battent leur plein à Bruxelles, et partout dans le pays, nous pouvons profiter de l’ambiance des marchés de Noël.

Et parmi les décorations en tous genres, une des plus traditionnelles est sans doute l’étoile : elle décore nos maisons, les guirlandes lumineuses dans nos rues, elle constitue le motif répété des serviettes ou nappes de fête, elle se plante dans le sapin de Noël, etc. La plupart du temps, il s’agit d’étoiles à 5 branches. Et c’est aussi un très joli objet géométrique…

► Il n’est pas très difficile de construire une étoile régulière à 5 branches, à l’aide d’un compas et d’un rapporteur pour mesurer des angles : il suffit de tracer un cercle et de le diviser en 5 secteurs égaux en mesurant des angles au centre de 72º (360º partagé en 5). On joint alors les points obtenus sur le cercle pour former l’étoile.

► On le voit, une étoile à 5 branches s’inscrit dans un cercle et aussi dans un pentagone régulier (en pointillé). Depuis l’Antiquité grecque, on sait également construire ces figures « à la règle et au compas », expression qui, en géométrie, renvoie aux constructions réalisables avec pour seuls instruments une règle non graduée et un compas, donc sans mesure ni de longueur ni d’angle. Utiliser une règle non graduée et un compas impose de baser la construction sur des tracés de lignes droites, d’arcs de cercle, sur les points d’intersection obtenus en cours de construction et sur des reports de longueurs au compas. On trouve facilement sur le net des protocoles de telles constructions.

► Ces constructions à la règle et au compas du pentagone régulier reposent notamment sur une de ses propriétés géométriques remarquables :

Par ailleurs, les diagonales se divisent entre elles dans un rapport égal au nombre d’or, et les branches de l’étoile sont des triangles d’or, autrement dit des triangles isocèles où le rapport entre l’un des deux côtés égaux et la base est égal au nombre d’or. Et aussi on trouve au milieu de l’étoile un petit pentagone régulier dans lequel on pourrait redessiner une petite étoile elle-même remplie de proportions dorées. La présence du nombre d’or dans le pentagone régulier et l’étoile se décline à l’infini.

► Le nombre d’or est un nombre très célèbre en mathématiques, mais aussi dans le domaine des arts. Il est considéré comme la « divine proportion », une sorte d’harmonie universelle, symbole du beau. Sa plus ancienne définition se trouve consignée, trois siècles avant notre ère, par le mathématicien grec Euclide, dans ses « Éléments », ouvrage fondateur de la géométrie déductive. Il définit ce qu’il appelle « couper une droite en extrême et moyenne raison » ce qui peut se traduire actuellement par partager un segment en deux parties de manière à ce que le rapport entre le plus grand morceau et le plus petit soit égal au rapport entre le tout et le plus grand morceau, ce qui implique que ce rapport soit égal à Φ.

Euclide fait ressortir la présence de ce rapport doré dans le pentagone régulier, mais aussi dans des problèmes d’inscription de polyèdres réguliers à une sphère, mais n’y voit aucune interprétation esthétique.

► Ce n’est que bien plus tard que ce rapport introduit par Euclide va acquérir ce statut esthétique et métaphysique qu’on lui accorde maintenant. L’origine de cette recherche serait un courant philosophique mené par Adolf Zeising en Allemagne au XIXe siècle. Aujourd’hui, les aficionados du nombre d’or le trouvent partout, il aurait présidé à la construction de toute œuvre considérée comme belle, de la grande Pyramide de Khéops à la Joconde de Léonard de Vinci, du Parthénon aux œuvres de Raphaël, etc. Et si on évoque Léonard de Vinci, on peut également citer un de ses dessins, « L’homme de Vitruve », qui représenterait les proportions idéales de l’être humain, et qui montre un homme bras tendus à l’horizontale, et jambes écartées, de sorte que ses 5 extrémités (la tête, les deux mains et les deux pieds) forment à peu près les sommets d’un pentagone régulier…

► Revenons à notre étoile à 5 branches, elle est aussi appelée pentagramme lorsque les branches sont reliées entre elles et est porteuse d’une symbolique variée.

Elle est présente symboliquement dans plusieurs religions, est associée à la célébrité notamment quand on pense aux étoiles de Hollywood Boulevard. Le pentagramme a une connotation plus ésotérique, voire magique. À ce titre, il peut symboliser le principe féminin, les cinq éléments, ou même être en rapport avec Satan.

La petite histoire des mathématiques veut que le pentagramme était le signe de reconnaissance des initiés de la secte pythagoricienne, fondée par le célèbre Pythagore au Vie siècle avant notre ère, et à vocation à la fois religieuse, scientifique, philosophique et politique. Notons que, comme la racine carrée de 2 évoquée dans un précédent article, le nombre d’or est irrationnel, donc participe à la crise mathématique des pythagoriciens.

► Pour terminer et parce que les mathématiques peuvent être aussi magiques, notons qu’il est très simple de construire un pentagone régulier, et donc une étoile à 5 branches, sans aucun outil : il suffit de faire soigneusement un nœud dans une bande de papier. En serrant et aplatissant délicatement le nœud, on obtient un pentagone parfaitement régulier !

Pour la www.maisondesmaths.be

Patricia Wantiez

Sources :

M. Neveux et H.E. Huntley, « Le nombre d’or, Radiographie d’un mythe suivi de La divine proportion », éditions du Seuil, 1995.

https ://fr.wikipedia.org/wiki/Pentagramme

http://www.lesoir.be/1016653/article/actualite/mathiere-grise/mathactu/2015-10-14/une-racine-surtout-si-elle-est-carree-c-est-foooormidable

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