Quelques divagations mathématiques…

L’article MathActu de la semaine passée évoquait la sérieuse présence des mathématiques dans notre quotidien, ou comment des modélisations mathématiques, et plus précisément statistiques, de processus variés permettent de gérer différentes situations de notre société moderne.

Temps de lecture: 6 min

Par ailleurs, les réseaux sociaux nous confrontent quotidiennement à des études dites « scientifiques » bien souvent sans réel fondement : on y apprend que les couche-tard seraient plus intelligents, que plus un pays consomme de chocolat, plus il a de prix Nobel, ou encore que vos performances au lit dépendent de votre prénom. Les causes du manque de fiabilité d’une étude peuvent être diverses : un échantillon mal choisi, des rapprochements hasardeux entre deux séries de données, un résultat anecdotique propulsé au premier plan, ou encore le traitement des médias.

La tentation est grande d’ordonner, de calculer, de mesurer, de quantifier, de numéroter, le nombre est partout : statistiques, probabilités, démographie, comptabilité, stratégie, sciences du vivant… de nombreux domaines où le nombre étend son empire. Voyons quelques exemples de jeux sur les nombres et de ce qu’ils nous apprennent.

► Tout le monde a déjà entendu parler du nombre 666 : il est considéré comme maléfique, le nombre de la Bête, de nombreux numérologues passent des jours entiers à le faire apparaître dans des combinaisons variées. Par exemple :

C’est amusant mais il est inutile d’y accorder du crédit : on aurait très bien pu partir d’un autre nombre, et essayer des milliers de formules jusqu’à en trouver qui paraissent avoir de l’importance. Mais si vous êtes néanmoins superstitieux, méfiez-vous de l’année 2016 puisque 2016 = 666 + 666 + 666 + 6 + 6 + 6…

► Parfois, quand on effectue certains calculs avec des nombres spéciaux, on obtient des résultats surprenants. Essayons…

Surprenant n’est-ce pas ? La tentation est grande d’en tirer une règle : on aura toujours la suite des chiffres dans l’ordre croissant à partir de 1 puis en décroissant ? Si vous continuez les calculs, le même schéma continue de se diffuser jusque 111 111 111 x 111 111 111. Cependant, cela devient difficile à vérifier car votre calculatrice ne pourra sans doute pas afficher assez de chiffres. Si vous êtes vraiment curieux et patient, vous allez continuer à tester en recourant à ce bon vieil algorithme de multiplication écrite. Et c’est en recourant à cette méthode qu’on finit par percevoir la raison de cette apparente régularité : pour simplifier, observons par exemple la multiplication écrite pour calculer 1 111 x 1 111.

Mais imaginons que nous appliquions cet algorithme en multipliant par lui-même un nombre formé de 10 chiffres 1 : on aurait 10 lignes décalées formées de ce nombre à additionner, et donc, à un moment, une colonne de 10 chiffres 1. Et quand on obtient 10 ou plus dans une colonne d’une addition écrite, il y a un report. Ce report va casser la belle régularité obtenue jusqu’ici, dommage !

► Les coïncidences numériques sont parfois surprenantes et vont à l’encontre de notre intuition. Par exemple, imaginez-vous dans une salle de 30 personnes, et demandez-vous s’il est possible que deux personnes aient leur anniversaire le même jour parmi les 30 personnes présentes. Vous vous direz sans doute que c’est hautement improbable en comparant le nombre 30 de personnes au nombre 365 de jours sur une année : il y a 30 dates d’anniversaire dans la salle, ce serait franchement beaucoup de chance. Pourtant la probabilité d’un tel événement est d’un peu plus de 70 %, vous pouvez tenter votre chance et faire un pari avec votre ami qui est justement de sortie avec vous dans cette même assemblée.

Pour le comprendre, imaginons d’abord que vous n’êtes que 5 personnes dans cette salle, numérotées de 1 à 5.

Il est plus simple de calculer le nombre de listes qui ne contiennent pas deux dates identiques : en effet, il y a alors 365 possibilités pour la 1re date, 364 pour la 2e qui doit être différente de la première, 363 pour la 3e différente des deux premières, 362 pour la 4e et 361 pour la 5e  ; donc au total, il y a 365 x 364 x 363 x 362 x 361 listes ordonnées de 5 dates qui ne contiennent pas deux dates identiques.

Mais il se fait que si on effectue un calcul semblable avec plus de personnes, la valeur de la probabilité augmente assez rapidement, et dépasse 50 % pour 23 personnes !

Une autre coïncidence surprenante serait que le tirage du lotto donne la liste « 1-2-3-4-5-6-(7) », on imagine assez bien les gros titres des journaux. Et pourtant, cette liste a exactement la même probabilité de sortir que les autres, et vous avez autant de chances de gagner si vous cochez cette liste sur votre bulletin que n’importe quelle autre.

► Un dernier exemple encore : prenez un nombre à trois chiffres, par exemple 471, et tapez-le deux fois à la suite sur votre calculatrice, vous obtenez 471 471. Divisez ce nombre par 7, puis le nouveau résultat par 11, puis le dernier résultat par 13 : vous obtenez successivement 471 471 / 7 = 67 353 ; 67 353 / 11 = 6123 ; 6123 / 13 = 471. Quel que soit le nombre de trois chiffres choisi au départ, cela fonctionne, vous réobtenez votre nombre après les opérations proposées ci-dessus. Magique ???

Cette fois, il ne s’agit plus d’une coïncidence mais d’un phénomène que les mathématiques peuvent expliquer simplement : les nombres 7, 11 et 13 sont les trois facteurs premiers de la décomposition de 1 001 : 1 001 = 7 x 11 x 13. Par ailleurs, quand on multiplie un nombre de trois chiffres par 1 001, on obtient un résultat formé du nombre de départ répété deux fois : par exemple 1 001 x 471 = 1000 x 471 + 1 x 471 = 471 000 + 471 = 471 471.

Pour rappel, un nombre premier est un nombre entier positif qui possède exactement deux diviseurs, qui sont forcément 1 et lui-même. La liste des nombres premiers est infinie et commence par : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Les nombres premiers permettent de construire tous les nombres entiers positifs par multiplications successives, et ce de manière unique, autrement dit tout nombre entier positif est égal à un unique produit de facteurs premiers. Par exemple, 90 = 2 x 3 x 3 x 5 ou 210 = 2 x 3 x 5 x 7.

Sachant cela, vous pouvez vous prendre au jeu et vous demander comment adapter le truc présenté ci-dessus pour les nombres de trois chiffres aux nombres de quatre chiffres…

Je vous invite également à consulter le site des Mathématiques Magiques (http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/), section « magie », pour découvrir d’autres trucs mathématiques qui vous permettront de briller en soirée !

Cette petite récréation mathématique avait surtout pour but de mettre en évidence que, si les nombres et les mathématiques sont très utiles au quotidien, il est important de garder un esprit critique et d’éviter les conclusions hâtives.

Terminons par ce joli extrait du Petit Prince de Saint-Exupéry, repris dans le livre de Denis Guedj mentionné ci-dessous : « Les grandes personnes aiment les chiffres. Quand vous leur parlez d’un nouvel ami, elles ne vous questionnent jamais sur l’essentiel. Elles ne vous disent jamais : “Quel est le son de sa voix ? Quels sont les jeux qu’il préfère ? Est-ce qu’il collectionne les papillons ? ”Elles vous demandent : “Quel âge a-t-il ? Combien a-t-il de frères ? Combien pèse-t-il ? Combien gagne son père ? ”Alors seulement elles croient le connaître. »

Ou encore Platon 25 siècles plus tôt : « Vraiment j’aperçois combien la science des nombres est belle et utile quand on s’en occupe pour la connaître et non pour en trafiquer. »

Pour la www.maisondesmaths.be

Patricia Wantiez

Sources

J.-P. Delahaye, « Les inattendus mathématiques », éditions Belin, 2004.

D. Guedj, « L’empire des nombres », éditions Gallimard, 1996.

I. Stewart, « Mon cabinet de curiosités mathématiques », éditions Flammarion, 2008.

 

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