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Y a-t-il trop de symboles en mathématiques? (partie 1)

La semaine passée, nous apprenions la disparition de l’écrivain italien Umberto Eco à 84 ans.

Temps de lecture: 6 min

Il était l’auteur de nombreux romans et essais. Le plus connu est sans doute « Le nom de la rose », son premier roman, qui a été un succès mondial avec plusieurs millions d’exemplaires vendus, et des traductions en 43 langues, et ce malgré le style dense et ardu de cette enquête policière médiévale, émaillée de nombreuses réflexions philosophiques.

Umberto Eco est en effet diplômé en philosophie de l’Université de Turin, docteur en philologie et lettres, et est surtout connu dans les milieux universitaires comme le pionnier de la sémiotique, science qui étudie les signes, les symboles et leur signification, c.-à-d. la production, la codification et la communication de ces signes ou symboles.

Les mathématiques sont justement une science qui utilise une pléthore de symboles variés, au point que de nombreux textes mathématiques aujourd’hui ne sont souvent lisibles que par les seuls initiés : les signes et les symboles se succèdent et rares sont les non-mathématiciens qui les comprennent spontanément. Et pourtant, le symbolisme mathématique a lui-même son histoire et son évolution. Les mathématiques furent l’invention de nombreux peuples de cultures variées, qui les pratiquèrent tantôt pour des raisons pratiques, comptables, astronomiques ou religieuses, tantôt pour la construction des mathématiques elles-mêmes. Et les hommes voyagent, les peuples se rencontrent, le savoir se transmet, se partage, évolue.

Une des premières sources d’utilisation de symboles mathématiques est liée à la représentation des nombres. Nous allons évoquer ici quelques étapes dans cette recherche de représentation.

► Les marques numériques les plus anciennes datent des premières civilisations humaines, au Paléolithique. Les hommes ressentirent le besoin de garder une trace de quantité de choses diverses, objets ou animaux. Ils choisirent ce qu’ils avaient facilement à disposition : des os ou des morceaux de bois (les os résistant mieux). Ils y firent une entaille pour chaque chose, une marque correspond à un objet. Des « os numériques » de plus de 30 000 ans ont été retrouvés. Et dans un précédent article, nous évoquions comment cette pratique ancestrale avait été à l’origine de la numération romaine.

► Une numération est un système de représentation des nombres. En effet, lorsque la quantité devient trop grande, utiliser une marque par objet devient fastidieux et peu lisible. Les hommes ont donc imaginé des règles, utilisé des symboles pour représenter, écrire des nombres, aussi grands que nécessaire par rapport à leurs besoins.

Les nombres ont en plus ceci de particulier qu’ils peuvent donner lieu à un triple système de représentation : visuel, oral et écrit.

Les numérations figurées, très visuelles, sont liées à des supports physiques destinés à représenter les nombres : des marques sur des os comme évoqué plus haut, mais aussi des objets concrets tels que des cailloux. Dans ce cas, chaque caillou vaut d’abord « un », mais si la quantité de cailloux devient trop importante, l’idée naturelle consiste à remplacer un tas déterminé de cailloux, 10 par exemple, par un seul caillou bien différent des précédents (de forme, taille ou couleur différente). C’est une première convention qui consiste à attribuer une valeur différente à chaque type de caillou, créant une hiérarchie entre eux, convention sans doute à l’origine de la notion de « base » présente dans toute numération écrite.

Les nombres s’énoncent aussi oralement, ils sont nommés : c’est la naissance d’une numération orale. En français, les premiers nombres sont désignés par les mots « un », « deux », « trois », « quatre », etc. Mais si nous avions continué comme cela à inventer un nouveau mot pour chaque nouveau nombre, cela deviendrait impossible à utiliser au quotidien. C’est pourquoi on va procéder plus systématiquement, en identifiant des nombres clés, et en fabriquant des noms composés à partir de ces nombres clés. Par exemple, le mot « dix-huit » correspond au nombre qui est la somme du nombre nommé « dix » et de celui nommé « huit ». De la même façon, le mot « deux cents » correspond au nombre qui est le produit du nombre nommé « deux » et de celui nommé « cent ». Les nouveaux mots nécessaires sont comme les nouveaux types de cailloux de la numération figurée…

Mais une numération a aussi pour vocation de pouvoir calculer avec les nombres. Il est difficile d’imaginer calculer avec des mots : la numération parlée n’est pas adaptée à cet objectif. Avec une numération figurée, on peut manipuler les objets utilisés, les ranger sur des supports adaptés, pratiquer des échanges afin d’arriver à un résultat. Plutôt que d’utiliser des cailloux, les hommes préférèrent des objets fabriqués par eux, en argile le plus souvent. On a retrouvé des « pierres d’argile » sumériennes datant du IVe millénaire avant notre ère, on les a appelées des « calculi » (de « calculus », caillou en latin), c’est l’origine du mot « calcul ».

C’est à Sumer aussi, vers 3300 avant notre ère, dans le « pays d’entre-les-fleuves », la Mésopotamie, qu’est née l’amorce d’une numération écrite (en lien avec la naissance de l’écriture). Les différentes formes de « calculi » utilisés (cônes, boules, petits ou grands, perforés ou pas…) vont être à l’origine de la première graphie des premiers symboles utilisés pour représenter les nombres. Ces signes sans transcription phonétique, spécifiques à la représentation des nombres, sont les premiers « chiffres ». On décide que des nombres particuliers auront la charge de représenter tous les autres, selon certains principes qu’il faut définir. La numération écrite sumérienne se base essentiellement sur deux symboles, une sorte de « clou » pour représenter le nombre 1, et un « poinçon » pour représenter le nombre 10. Chaque symbole était répété autant de fois que nécessaire, il suffisait donc de lire la somme des symboles-nombres juxtaposés.

Les Sumériens utilisaient donc un système décimal mais aussi sexagésimal, autrement dit en base 60 : dès qu’ils arrivaient à 60, ils considéraient qu’il s’agissait d’une unité de rang supérieur, représentée par un « clou » plus grand. Ce système n’était donc pas sans ambiguïté car un même symbole pouvait représenter plusieurs nombres et c’est le contexte qui permettait souvent de trancher : le « clou » par exemple pouvait représenter 1, 60 mais aussi 3600 (60 x 60), etc. Les fouilles archéologiques ont permis d’exhumer de nombreuses tablettes en écriture cunéiforme mésopotamienne, dont près de trois cents concernent les mathématiques. Ces tablettes nous renseignent sur les connaissances mathématiques de l’époque.

Notons que nous avons gardé trace encore aujourd’hui du système sexagésimal des anciens sumériens : les mesures du temps utilisent une base 60, puisque 1 heure = 60 minutes et 1 minute = 60 secondes, mais aussi les mesures d’angles avec l’angle plein divisé en 360º.

Nous voilà arrivés au terme de la première étape de cette aventure : nous avons un système d’écriture symbolique des nombres. La prochaine fois, nous évoquerons comment les hommes ont peu à peu perfectionné les systèmes de numération jusqu’à arriver à notre système en base 10 si efficace…

Pour la www.maisondesmaths.be

Patricia Wantiez

Sources

http://www.lesoir.be/1127601/article/culture/livres/2016-02-20/umberto-eco-auteur-du-roman-nom-rose-est-decede

https://fr.wikipedia.org/wiki/Umberto_Eco

http://www.lesoir.be/1053055/article/actualite/mathiere-grise/mathactu/2015-11-25/romains-ou-arabes

Tangente Hors-série nº30, « Histoire des mathématiques de l’Antiquité à l’an Mil », éditions Pole 2007.

D. Guedj, « L’empire des nombres », éditions Gallimard, 2009.

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