Fêtons le Pi-Day à la Maison des Maths!
Les puristes pousseront même le folklore jusqu’à lever leur verre à la santé de cette célèbre constante le 14 mars à 1h59 (idéalement de l’après-midi) : on obtient encore une décimale exacte de plus avec l’approximation 3,14159. Et donc, par un petit retour aux dates, nous nous consolons, à la Maison des Maths, de n’avoir pas pu fêter le Pi-Day du siècle (puisque la MdM a ouvert officiellement en septembre 2015) car, en partant de la date 3/14/16, on obtient l’approximation 3,1416 qui est finalement meilleure qu’en 2015 !
Mais pourquoi donc cette constante π fascine-t-elle autant les amoureux des maths au point d’en créer une fête ? Qu’a-t-elle de si particulier ? Citons Jean-Paul Delahaye à qui l’on doit un livre passionnant entièrement consacré au nombre π : « Le nombre π est au centre d’un cercle mathématique extraordinaire, mais si grand que personne, sans doute, ne l’explorera entièrement. […] Après 4000 ans de travail et de découvertes merveilleuses, les mathématiciens arrivent encore à trouver de nouvelles propriétés de π : malgré les connaissances accumulées, ce nombre étincelant reste mystérieux, et certaines questions élémentaires à son sujet semblent même hors de portée des mathématiques actuelles. » Évoquons ici quelques-unes de ces découvertes…
► Dans la citation ci-dessus, le mot important est « cercle » ! Depuis l’Antiquité, les hommes ont été confrontés à de banals problèmes liés au contour d’objets circulaires : trouver la longueur d’une corde qui ferait le tour d’un arbre ou d’une portion de terrain délimité par un cercle tracé au cordeau, estimer la longueur du revêtement qu’il faut coller sur la roue d’une charrette pour la protéger, anticiper le nombre de planches nécessaires pour construire une barrique de rayon donné, etc. Ces exemples illustrent que π est d’abord un nombre utile au quotidien, présent partout autour de nous.
Et très vite, les hommes se sont rendu compte que, quelle que soit la grandeur du cercle, le rapport entre le contour qu’ils avaient mesuré et le diamètre du cercle était le même, et plus précisément, la longueur du contour valait un peu plus de 3 fois le diamètre. C’est ce qu’illustre la figure suivante.
Le cercle « roule » sur une droite sur laquelle on a reporté plusieurs fois la longueur du diamètre : lorsque le cercle a effectué un tour complet, il arrive un peu après la 3e graduation. Pour trouver une valeur plus précise de ce rapport entre la circonférence et le diamètre, il faut estimer le « un peu après » : expérimentalement, on peut constater que le petit bout qui reste vaut environ 1/7 du diamètre. Donc le rapport cherché vaut à peu près 3+1/7 = 22/7. Cette approximation fractionnaire de π est connue depuis l’Antiquité, elle permet d’obtenir π avec 2 décimales exactes : c’est la valeur approchée 3,14 utilisée par les écoliers pour calculer le périmètre d’un disque donné par la formule π d = 2 π r (puisque le diamètre vaut 2 fois le rayon). Notons que les vrais mordus de π célèbrent même le « Jour de l’approximation de π » le… 22/7 (22 juillet) !
► Le nombre π a une autre définition géométrique, toujours liée au cercle, et même au disque : c’est le rapport entre l’aire d’un disque et le carré de son rayon.
Cela signifie que l’aire du disque jaune vaut un peu plus de 3 fois l’aire du carré vert, le rapport exact entre ces deux aires étant π.
C’est l’origine de la formule π r² pour le calcul de l’aire du disque.
L’expérience semble donc montrer que les deux rapports, l’un entre la circonférence et le diamètre, l’autre entre l’aire et le carré du rayon d’un disque sont identiques, tous deux égaux à π. Encore faut-il en être sûr… C’est heureusement un problème facile à résoudre avec une méthode qui semble aussi être connue depuis l’Antiquité : pour calculer l’aire d’un disque en connaissant sa circonférence, on le découpe en secteurs qui sont assimilés à des triangles, et on réarrange le tout pour obtenir une figure assimilée à un parallélogramme dont on sait facilement calculer l’aire (par la formule base x hauteur).
C’est un passage à la limite qui permet de confirmer la validité de la méthode : plus on découpe de secteurs dans le disque, plus ils ressembleront à de vrais triangles. L’aire obtenue est donc égale au produit de la demi-circonférence par le rayon, ce qui donne π r. r = π r².
► La définition de π étant donc connue, il faut encore en déterminer la valeur la plus exacte possible. Une des plus anciennes apparitions de π provient d’une tablette babylonienne vieille d’environ 4000 ans. En comparant le périmètre d’un cercle et celui d’un hexagone régulier inscrit à ce cercle, les Babyloniens sont arrivés à l’approximation π = 3 + 1/8 = 3,125.
Sur le papyrus de Rhind, une des sources les plus importantes concernant les mathématiques dans l’ancienne Egypte, et datant de 1650 avant notre ère, on constate que les Egyptiens de l’époque estimaient la valeur de π égale à(16/9)² = 3,16049…
Mais ce sont les anciens grecs qui vont faire avancer la connaissance de π de manière remarquable. Et parmi eux plus particulièrement le grand Archimède de Syracuse (287-212 avant notre ère) qui, dans son texte intitulé « De la mesure du cercle », applique une méthode d’exhaustion pour approcher au mieux la valeur de π. L’idée d’Archimède est assez simple : il considère que le périmètre du cercle est compris entre le périmètre d’un polygone régulier inscrit et celui d’un polygone régulier circonscrit. Et plus on augmente le nombre de côtés de ces polygones, plus on se rapproche de la valeur exacte du périmètre (notons que si on considère le diamètre du cercle égal à 1, le périmètre vaut π). C’est ce qu’illustre la figure suivante :
Le génie d’Archimède consiste à établir des « formules » permettant de passer d’un couple de polygones inscrit / circonscrit au couple ayant un nombre double de côtés. Ces formules peuvent aujourd’hui être écrites à l’aide de la trigonométrie. Archimède est parti des hexagones réguliers inscrit et circonscrit et a doublé progressivement le nombre de côtés de ses polygones pour arriver à des polygones à 96 côtés (96 = 6 x 2 x 2 x 2 x 2). Cela le conduit à l’encadrement 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 ou encore 3,1408 < π < 3,1429. On retrouve notre approximation bien connue 3,14. C’est un véritable exploit sachant qu’Archimède n’avait évidemment pas de calculatrice, mais aussi n’avait même pas de notation algébrique ni de système de numération efficace !
► La méthode d’Archimède sera exploitée ensuite pendant de nombreux siècles pour tenter de trouver des valeurs de plus en plus exactes pour π. Au 5e siècle de notre ère par exemple, un savant chinois particulièrement patient, Tsu Chung Chih, est allé jusqu’à des polygones à 3072 côtés (3072 = 6 x 29) ce qui lui a donné 3,1415926 < π < 3,1415927, et aussi la valeur approchée fractionnaire 355/113.
Dans le monde arabe vers 1450, Al-Kashi calcule π avec 14 décimales exactes grâce à des polygones à 6 x 227 côtés. En Europe, les progrès sont plus lents, mais on peut noter l’obstination de Ludolph von Ceulen qui calcule jusqu’à 34 décimales de π en 1609 !
À Paris, François Viète (1540-1603), partant de considérations géométriques, trouve la première formule infinie de π :
► La formule de Viète marque le début des liens entre π et l’analyse : les mathématiciens établirent progressivement des formules plus ou moins complexes, souvent purement arithmétiques : produits, sommes ou fractions infinis, permettant de calculer π (les plus curieux en trouveront quelques-unes via le lien proposé en référence). Ces formules permirent de trouver de plus en plus de décimales exactes de π, sachant que, grâce aux ordinateurs, nous en connaissons aujourd’hui plusieurs milliers de milliards.
Notons que les 30 premières décimales exactes suffisent à toutes les applications envisageables, mais cette recherche a priori effrénée et futile, outre le plaisir du record, a permis de nombreuses avancées mathématiques.
C’est d’ailleurs en 1761 que Johann Lambert démontre que π est irrationnel, autrement dit que cette recherche ne s’arrêtera jamais : les décimales de π sont en nombre infini et sans répétition périodique.
Notons pour l’anecdote que la notation de cette constante par la lettre grecque π aurait été introduite par William Oughtred en 1647, et ce n’est rien d’autre que la première lettre du mot « », autrement dit « périmètre » en grec…
Terminons par un peu de poésie : le début du poème suivant, dont on trouve l’entièreté sur le lien ci-dessous, permet de retenir les premières décimales de π en comptant simplement le nombre de lettres de chaque mot. La prouesse consiste ici, en plus de la contrainte de trouver un mot correspondant à chaque décimale, d’écrire un poème qui raconte l’histoire de π…
…
Il me reste à souhaiter vous retrouver ce dimanche 13 mars pour célébrer avec nous la fête de π à la Maison des Maths, qui proposera à cette occasion quelques « animathions » autour de notre célèbre constante. Ou alors au moins, à l’image des Américains, buvez un verre à la santé de π en dégustant un… apple-pie !
Pour la www.maisondesmaths.be,
Patricia Wantiez
Sources
Jean-Paul Delahaye, « Le fascinant nombre π », éditions Belin, 1997.
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