Le Pi-Day (suite)

Le Pi-Day est derrière nous mais revenons encore une fois sur ce nombre exceptionnel ᴫ.

L’article précédent reliait une de ses origines à la recherche de la longueur du cercle, aboutissant à un calcul multiplicatif : ᴫ x 2r ou 2 ᴫ r.

Le cercle est la frontière d’un disque, cette longueur est aussi le périmètre du disque.

Le calcul du périmètre s’exprime donc ici par une multiplication par une constante, et ce n’est pas réellement ce qui est le plus en phase avec la notion même de périmètre…

Regardons cela de plus près…

► Il faut reconnaître que dans la vie quotidienne on est moins souvent confronté à la nécessité de calculer le périmètre d’un disque. Par contre, oui on est amené parfois à rechercher le périmètre d’une propriété qu’on veut clôturer, le périmètre d’une chambre d’enfant qu’on veut décorer d’une frise, le périmètre d’un local où placer des plinthes, le périmètre d’une piscine où installer les pavés de la margelle…

Le contour d’une propriété, d’un terrain, d’une chambre, d’un local, d’une piscine… est la plupart du temps de forme polygonale. Déterminer la longueur de ce contour c’est le déplier, c’est le développer pour que les longueurs des côtés se mettent bout à bout et s’additionnent.

Ici pour un terrain trapézoïdal, le périmètre est la somme des longueurs de chacun des côtés :

► Pour avoir une multiplication, le polygone doit se particulariser avec des côtés de même longueur.

► Le disque se rapprocherait-il des polygones réguliers ou serait-il un spécimen spécifique ?

En géométrie, le disque apparaît comme la limite de polygones réguliers dont le nombre de côtés augmente indéfiniment. Un disque n’est pourtant pas un polygone et n’a pas de côté.

Qu’est-ce qui fait grandir le périmètre d’un disque ? Son diamètre ou son rayon croissant !

Utiliser une branche mécano comme compas, fixer le centre au milieu de cette branche par une attache parisienne, placer la pointe de marqueur pour tracer un cercle (frontière de disque) dans le 2e trou, puis le 4e puis le 6e trou de la branche au-delà du centre. Prendre de la ficelle pour matérialiser les longueurs des cercles tracés. On découvre qu’en correspondance avec un rayon puis son double puis son triple on obtient une ficelle double de la première puis une ficelle triple de la première.

On a la relation suivante

Au fond, la seule « dimension » d’un disque c’est son rayon ou diamètre. Le périmètre se calcule donc spécifiquement en lien proportionnel avec ce rayon ou diamètre.

C’est bien cette constante de proportionnalité que nos ancêtres avaient pressentie et se sont évertués à calculer avec de plus en plus de précision au fil des siècles

Pour la www.maisondesmaths.be,

Françoise Lucas

Cf. Math et Sens, Explorer les grandeurs, se donner des repères, éd. De Boeck.