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Y a-t-il trop de symboles en mathématiques? (partie 2)

Dans un précédent article, nous évoquions la naissance d’une représentation écrite des nombres, autrement dit comment les premières civilisations ont imaginé des règles et des symboles permettant d’écrire des nombres. Ces règles et symboles constituent un système de numération. Les symboles utilisés sont appelés « chiffres ».

Temps de lecture: 6 min

Nous nous étions arrêtés à la naissance d’un premier système, au IVe millénaire avant notre ère en Mésopotamie, région historique du Moyen-Orient correspondant approximativement à l’Irak et une partie de la Syrie actuels. Les historiens considèrent que la civilisation suméro-akkadienne installée dans cette région pendant environ trois millénaires constitue le berceau de notre civilisation occidentale. Le système de numération mésopotamien reposait essentiellement sur l’utilisation de deux chiffres (un « clou » et un « poinçon ») et, pour écrire un nombre, on répétait chacun de ces chiffres autant de fois que nécessaire. La règle était donc très simple, mais l’écriture d’un nombre pouvait vite s’avérer assez lourde (il fallait par exemple 14 symboles pour écrire le nombre 59, 22 symboles pour écrire 589…). De plus, l’écriture pouvait être ambiguë car l’utilisation d’une base sexagésimale impliquait qu’un même chiffre (le « clou ») pouvait représenter à la fois 1, 60, 3600…

D’autres civilisations ont bien sûr proposé d’autres systèmes de représentation des nombres. Regardons cela de plus près via quelques exemples…

► Pour créer un système de numération, les idées principales sont toujours les mêmes : on choisit des symboles, appelés « chiffres », correspondant à des nombres particuliers qui auront la charge de représenter tous les autres. Il faut ensuite déterminer le procédé pour construire des assemblages de chiffres qui représenteront les nombres, les règles de représentation devant en principe permettre une lecture sans ambiguïté : une même écriture ne devrait pas représenter deux nombres différents.

L’adoption d’une base est le moyen que se donnent les numérations pour n’utiliser qu’un nombre limité de symboles : au lieu de compter uniquement par unités, on compte par paquets, et la base est le nombre d’éléments qu’on décide de mettre dans un paquet. En principe, n’importe quel nombre (au moins égal à 2) peut servir de base, mais dans la pratique, la base 10 a le plus souvent été choisie, sans doute parce que nous avons 10 doigts. On trouve également des traces de bases 5 (une main) ou 20 (deux mains et deux pieds), voire 60 comme en Mésopotamie. De nos jours, le code binaire en informatique correspond à une base 2.

► Par exemple, dès le IIIe millénaire avant notre ère, l’Égypte antique utilisait une numération hiéroglyphique avec un chiffre pour chaque puissance de 10, de 1 (100) jusque 1 000 000 (106) : l’unité était représentée par une barre verticale, la dizaine par une anse de panier, la centaine par une corde enroulée, le millier par une fleur de lotus éclose sur sa tige, la dizaine de mille par un doigt dressé dont la dernière phalange était recourbée, la centaine de mille par un têtard, et le million par une divinité levant les bras au ciel.

On le voit, il suffisait de répéter chaque chiffre autant de fois que nécessaire, et la disposition des chiffres n’influence pas la lecture comme le montrent les deux écritures de 137. Le principe est le même que pour la numération mésopotamienne si ce n’est que les Égyptiens ont été plus inventifs pour créer de nouveaux chiffres et sont donc arrivés à une écriture non ambiguë. En mathématiques, on parle de numération additive car seule l’addition de chiffres est utilisée.

Deux faiblesses apparaissent néanmoins : la lourdeur de l’écriture et le fait qu’on ne puisse pas représenter des nombres aussi grands qu’on veut (il n’y a pas de chiffre pour 10 000 000…).

► Une autre idée a permis de faire évoluer la numération : faire intervenir également la multiplication. On parle alors de numération hybride. Dans ce cas, le nombre 300 n’est plus représenté par la juxtaposition « 100 + 100 + 100 » mais par « 3 » suivi de « 100 » qui se lit « 3 x 100 ». Le premier système de numération chinois est décimal et de type hybride. Il utilise un chiffre pour chaque nombre de 1 à 9 et pour les nombres 10, 100, 1000 et 10 000.

On trouve ces symboles sur les os et les écailles divinatoires de l’époque Yin (XIVe – XIe siècle avant notre ère).

(La première ligne montre les symboles actuels, la deuxième les symboles archaïques)

Par rapport au système purement additif, on gagne en écriture puisqu’il faut en général écrire moins de chiffres  : par exemple, l’écriture de 9 521 utilise ici 7 chiffres, alors que les anciens Égyptiens en auraient utilisé 17 ! Cependant, on ne sait toujours pas représenter des nombres aussi grands qu’on veut.

► La dernière idée qui a révolutionné la numération et permis d’arriver à notre système actuel est le principe de position : à partir d’un système de type hybride, si chaque puissance de la base est toujours écrite à la même position, il n’est alors plus nécessaire d’écrire le symbole correspondant à cette puissance mais juste le chiffre par lequel il faudra la multiplier. Les symboles représentant 10, 100, 1000… disparaissant, les seuls chiffres utilisés sont alors ceux correspondant aux nombres de 1 à 9.

Le tableau ci-dessus représenterait 9 521 en chinois si on décide que les différentes puissances de la base se placent de manière croissante de droite à gauche dans le tableau.

Pour représenter les nombres en n’utilisant que les chiffres, sans devoir dessiner le tableau à chaque fois, il faut pouvoir indiquer qu’une case est vide. L’idée géniale consiste à inventer un nouveau chiffre qui représentera cette case vide, qui dira qu’il n’y a rien : c’est le zéro de la numération positionnelle ! Avec cette convention, notre écriture « 2056 » par exemple doit se lire de droite à gauche avec un rang vide, celui des centaines : « 6 unités, 5 dizaines et 2 unités de mille ».

► La numération de position semble avoir été inventée en Inde, au Ve siècle de notre ère. En 458 parut un traité de cosmologie en sanscrit, le Lokavibhaga, « Les parties de l’univers », qui est le document le plus ancien retrouvé faisant état de cette numération.

C’est par ce livre, traduit en latin, que le calcul indien pénétra dans l’Occident chrétien. Cependant, l’Europe du Moyen-Âge, peu développée, n’a pas besoin des chiffres arabes. Il s’y crée alors une querelle entre les abacistes, qui calculent encore sur des abaques romains, suffisants pour le commerce, et les algoristes, qui veulent adopter la nouvelle numération de position. Il faudra attendre le XIIIe siècle, avec le mathématicien italien Léonard de Pise, dit Fibonacci, pour que le mouvement s’accélère.

Nous voilà au terme de l’aventure : nous avons aujourd’hui un système de numération positionnel qui possède de nombreux avantages. Le premier est celui de pouvoir représenter des nombres aussi grands qu’on veut avec un nombre limité de chiffres. On peut aussi citer le fait que la longueur de l’écriture d’un nombre est en rapport direct avec son ordre de grandeur, et qu’il est extrêmement efficace pour le calcul, en témoignent nos algorithmes simples de calcul écrit (au passage, l’origine du mot « algorithme » est… « al-Khwarizmi » !).

Et tout cela avec seulement 10 symboles ou chiffres… Qui dira encore qu’il y a trop de symboles en mathématiques… ?

Pour la www.maisondesmaths.be,

Patricia Wantiez

Sources

http://www.lesoir.be/1135871/article/actualite/mathiere-grise/mathactu/2016-02-29/y-t-il-trop-symboles-en-mathematiques-partie-1

http://www.lesoir.be/1145749/article/actualite/mathiere-grise/mathactu/2016-03-09/fetons-pi-day-maison-des-maths

http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/histoire-des-nombres

Tangente Hors-série nº30, « Histoire des mathématiques de l’Antiquité à l’an Mil », éditions Pole 2007.

D. Guedj, « L’empire des nombres », éditions Gallimard, 2009.

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